קיץ 2020 מועד א (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות ניסוי

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2020 מועד א (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף א

פרק 7 – בגרויות ניסוי 2020–2021 (שאלון 035581)

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת שהביטוי 5ⁿ − 1 מתחלק ב־4 ללא שארית לכל n טבעי.

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

5¹ − 1 = 4 = 4 · 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

5^k − 1 = 4m

כאשר m שלם. מכאן:

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

כאשר m שלם. מכאן:

5^k = 4m + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

הביטוי 5^{k + 1} − 1 מתחלק ב־4.

נפרק את החזקה:

📐 חוקי חזקות

5^{k + 1} − 1 = 5 · 5^k − 1

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

📐 חוקי חזקות

a^{k + 1} = a · a^k

📐 הנחת האינדוקציה

5^k = 4m + 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 5(4m + 1) − 1

= 20m + 5 − 1 = 20m + 4

= 4(5m + 1) ✓

5m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־4.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

5^k = 4m + 1

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא